a) Prove que o conjunto
das funções pares é subespaço de
.
b) Prove que o conjunto
das funções ímpares é subespaço de
.
b) Prove que o conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que o exercício está pedindo. A questão a) quer que a gente prove que o conjunto
das funções pares é um subespaço de
. Aqui,
representa o conjunto de todas as funções de
para
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço e o que são funções pares.
Passo 2
Um subespaço é basicamente um “espaço menor” que ainda respeita certas regras dentro de um espaço maior. Para provar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
-
não está vazio. - Se você pegar duas funções pares e somar, o resultado também é uma função par.
- Se você multiplicar uma função par por um escalar, o resultado ainda é uma função par.
Passo 3
Primeiro, vamos mostrar que
não está vazio. Uma função par clássica é, por exemplo, a função constante zero. Ou seja,
para todo
em
é uma função par, porque
. Então,
não está vazio.
Passo 4
Agora, vamos ver se a soma de duas funções pares é par. Seja
e
duas funções pares em
. Então, para qualquer
em
:
Isso mostra que
também é par, então
é fechado sob adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
uma função par em
e
um escalar. Então, para qualquer
em
:
Isso mostra que
também é par, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b)! Aqui, a gente precisa provar que o conjunto
das funções ímpares é um subespaço de
. Funções ímpares têm a propriedade que
para todo
em
.
Passo 7
Assim como na parte a), para mostrar que
é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
-
não está vazio. - A soma de duas funções ímpares é ímpar.
- A multiplicação de uma função ímpar por um escalar também é ímpar.
Passo 8
Primeiro, vamos ver que
não está vazio. Uma função ímpar clássica é a função identidade,
(dependendo do contexto de
e
). Essa função satisfaz
, então
não está vazio.
Passo 9
Agora, vamos checar se a soma de duas funções ímpares é ímpar. Seja
e
duas funções ímpares em
. Então, para qualquer
em
:
Isso mostra que
também é ímpar, então
é fechado sob adição.
Passo 10
Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja
uma função ímpar em
e
um escalar. Então, para qualquer
em
:
Isso mostra que
também é ímpar, então
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Portanto, o conjunto
das funções ímpares é um subespaço de
.