a) Prove que o conjunto A das funções pares é subespaço de F(V, W).
b) Prove que o conjunto B das funções ímpares é subespaço de F(V, W).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, a gente tem que entender o que o exercício está pedindo. A questão a) quer que a gente prove que o conjunto das funções pares é um subespaço de . Aqui, representa o conjunto de todas as funções de para . Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço e o que são funções pares.

Passo 2

Um subespaço é basicamente um “espaço menor” que ainda respeita certas regras dentro de um espaço maior. Para provar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. não está vazio.
  2. Se você pegar duas funções pares e somar, o resultado também é uma função par.
  3. Se você multiplicar uma função par por um escalar, o resultado ainda é uma função par.

Passo 3

Primeiro, vamos mostrar que não está vazio. Uma função par clássica é, por exemplo, a função constante zero. Ou seja, para todo em é uma função par, porque . Então, não está vazio.

Passo 4

Agora, vamos ver se a soma de duas funções pares é par. Seja (f + g)(-v) = f(-v) + g(-v) = f(v) + g(v) = (f + g)(v) e duas funções pares em . Então, para qualquer em :
Isso mostra que também é par, então é fechado sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja (cf)(-v) = c cdot f(-v) = c cdot f(v) = (cf)(v) uma função par em e um escalar. Então, para qualquer em :
Isso mostra que também é par, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b)! Aqui, a gente precisa provar que o conjunto das funções ímpares é um subespaço de . Funções ímpares têm a propriedade que para todo em .

Passo 7

Assim como na parte a), para mostrar que é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
  1. não está vazio.
  2. A soma de duas funções ímpares é ímpar.
  3. A multiplicação de uma função ímpar por um escalar também é ímpar.

Passo 8

Primeiro, vamos ver que não está vazio. Uma função ímpar clássica é a função identidade, (dependendo do contexto de e ). Essa função satisfaz , então não está vazio.

Passo 9

Agora, vamos checar se a soma de duas funções ímpares é ímpar. Seja (f + g)(-v) = f(-v) + g(-v) = -f(v) + (-g(v)) = -(f(v) + g(v)) = -(f + g)(v) e duas funções ímpares em . Então, para qualquer em :
Isso mostra que também é ímpar, então é fechado sob adição.

Passo 10

Por último, vamos verificar a multiplicação por escalar. Seja (cf)(-v) = c cdot f(-v) = c cdot (-f(v)) = -c cdot f(v) = -(cf)(v) uma função ímpar em e um escalar. Então, para qualquer em :
Isso mostra que também é ímpar, então é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Portanto, o conjunto das funções ímpares é um subespaço de .

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