Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas
pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos um esboço da superfície definida pela equação
em coordenadas cilíndricas
. Vamos usar conceitos de geometria espacial e coordenadas cilíndricas para entender essa superfície e desenhá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância do ponto à origem no plano
),
(o ângulo que o raio
faz com o eixo positivo
) e
(a altura do ponto acima do plano
).
Passo 3
Vamos analisar a equação
. Podemos reescrever isso como
. Isso sugere que para cada par
, teremos dois valores possíveis de
, positivo e negativo, desde que
seja não negativo.
Passo 4
Precisamos identificar para quais valores de
a expressão
é não negativa, ou seja,
. Sabemos que o cosseno é positivo nos intervalos onde
está entre
e
, e entre
e
. Isso significa que
deve estar entre
e
, ou entre
e
.
Passo 5
Agora, vamos interpretar a forma da superfície. A equação
lembra a equação de um cone, mas com uma modulação angular devido ao termo
. Isso indica que a superfície terá simetria dupla em relação ao eixo
e abrirá em direções determinadas pelos valores de
onde
é positivo.
Passo 6
Para esboçar a superfície, vamos considerar diferentes seções:
-
Quando
ou : ou . Apenas para e , a equação nos dá ou . No primeiro caso, temos um cone padrão, e no segundo, não há solução real. -
Para outros valores de
dentro dos intervalos permitidos: A superfície terá formas cônicas variando com o ângulo, criando uma estrutura tipo “hora do relógio” em torno do eixo .
Passo 7
Com todas essas informações, podemos concluir que a superfície é um tipo de cone duplo que se abre apenas nas direções onde
é positivo, ou seja, em setores angulares específicos. Essa superfície tem simetria em relação aos eixos definidos por
,
, entre outros.
Resposta
A superfície definida pela equação
é um cone duplo simétrico em relação ao eixo
, que se abre nos setores angulares onde
é positivo, formando uma estrutura cônica com simetria dupla nos ângulos
,
, etc.