Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) pelas equações abaixo: z^2=r^2 cos (2 theta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fazermos um esboço da superfície definida pela equação z^2 = r^2 cos(2theta) em coordenadas cilíndricas (r, theta, z). Vamos usar conceitos de geometria espacial e coordenadas cilíndricas para entender essa superfície e desenhá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: r (a distância do ponto à origem no plano xy), theta (o ângulo que o raio r faz com o eixo positivo x) e z (a altura do ponto acima do plano xy).

Passo 3

Vamos analisar a equação z^2 = r^2 cos(2theta). Podemos reescrever isso como z = pm r raizcos(2theta). Isso sugere que para cada par (r, theta), teremos dois valores possíveis de z, positivo e negativo, desde que cos(2theta) seja não negativo.

Passo 4

Precisamos identificar para quais valores de theta a expressão cos(2theta) é não negativa, ou seja, cos(2theta) >= 0. Sabemos que o cosseno é positivo nos intervalos onde 2theta está entre -pi/2 e pi/2, e entre 3pi/2 e 5pi/2. Isso significa que theta deve estar entre -pi/4 e pi/4, ou entre 3pi/4 e 5pi/4.

Passo 5

Agora, vamos interpretar a forma da superfície. A equação z^2 = r^2 cos(2theta) lembra a equação de um cone, mas com uma modulação angular devido ao termo cos(2theta). Isso indica que a superfície terá simetria dupla em relação ao eixo z e abrirá em direções determinadas pelos valores de theta onde cos(2theta) é positivo.

Passo 6

Para esboçar a superfície, vamos considerar diferentes seções:
  • Quando theta = 0 ou theta = pi/2: cos(2theta) = 1 ou -1. Apenas para theta = 0 e theta = pi/2, a equação z^2 = r^2 cos(2theta) nos dá z^2 = r^2 ou z^2 = -r^2. No primeiro caso, temos um cone padrão, e no segundo, não há solução real.
  • Para outros valores de theta dentro dos intervalos permitidos: A superfície terá formas cônicas variando com o ângulo, criando uma estrutura tipo “hora do relógio” em torno do eixo z.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos concluir que a superfície é um tipo de cone duplo que se abre apenas nas direções onde cos(2theta) é positivo, ou seja, em setores angulares específicos. Essa superfície tem simetria em relação aos eixos definidos por theta = 0, theta = pi/2, entre outros.

Resposta

A superfície definida pela equação z^2 = r^2 cos(2theta) é um cone duplo simétrico em relação ao eixo z, que se abre nos setores angulares onde cos(2theta) é positivo, formando uma estrutura cônica com simetria dupla nos ângulos theta = 0, theta = pi/2, etc.

Exercícios relacionados