Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta A reta que passa pelos pontos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa por dois pontos no espaço: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar achar um vetor direção para a reta e usar as coordenadas dos pontos para montar as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor direção da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados. Se tivermos os pontos e , o vetor direção é dado por:
Aplicando isso aos nossos pontos:
Passo 3
Agora que temos o vetor direção, podemos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto e tem como vetor direção é:
Onde é um parâmetro real. Vamos escolher o ponto como . Então, substituindo:
Passo 4
Para encontrar as equações paramétricas, vamos expressar cada coordenada da reta em função de . A partir da equação vetorial que montamos, temos:
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
Resposta
A equação vetorial da reta é:
r = (0, 12, 1) + t cdot (2, 12, -4)
E as equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 12 + 12t z = 1 - 4t
Onde t é um número real que varia ao longo da reta.