Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta A reta que passa pelos pontos (0, 12, 1) e (2,1,-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa por dois pontos no espaço: (0, 12, 1) e (2,1,-3). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar achar um vetor direção para a reta e usar as coordenadas dos pontos para montar as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está apontando e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas dos dois pontos dados. Se tivermos os pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2), o vetor direção v é dado por:
v = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)
Aplicando isso aos nossos pontos:
v = (2 - 0, 1 - 12, -3 - 1) = (2, 12, -4)

Passo 3

Agora que temos o vetor direção, podemos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta que passa por um ponto P0(x0, y0, z0) e tem como vetor direção v = (a, b, c) é:
r = P0 + t cdot v
Onde t é um parâmetro real. Vamos escolher o ponto P0 como (0, 12, 1). Então, substituindo:
r = (0, 12, 1) + t cdot (2, 12, -4)

Passo 4

Para encontrar as equações paramétricas, vamos expressar cada coordenada da reta em função de t. A partir da equação vetorial que montamos, temos:
x = 0 + 2t = 2t
y = 12 + 12t
z = 1 - 4t
Portanto, as equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 12 + 12t z = 1 - 4t

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = (0, 12, 1) + t cdot (2, 12, -4)
E as equações paramétricas da reta são:
x = 2t y = 12 + 12t z = 1 - 4t
Onde t é um número real que varia ao longo da reta.

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