(a) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz não nula de tamanho que seja igual à sua transposta, ou seja, . Estamos lidando com o conteúdo de Matrizes Simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como construir uma matriz que atenda a essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição na matriz original passa para a posição na transposta.

Passo 3

Uma matriz é chamada de simétrica se for igual à sua transposta. Formalmente, é simétrica se . Isso significa que o elemento deve ser igual ao elemento para todos os e .

Passo 4

Para construir uma matriz simétrica , vamos atribuir valores de forma que a condição seja satisfeita. Podemos escolher valores arbitrários para os elementos na diagonal principal e então garantir que os elementos fora da diagonal sejam iguais em posições simétricas.

Passo 5

Vamos escolher valores simples para facilitar. Por exemplo, podemos definir:

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa matriz é realmente simétrica. Calculando a transposta:
Percebemos que , confirmando que construímos uma matriz simétrica não nula.

Resposta

Uma matriz não nula que satisfaz é:

Exercícios relacionados

Seja a transformação
e seja um paralelepípedo com volume 3. O volume do paralelepípedo transformado :
(A) é igual ao volume de .
(B) é menor do que o volume de .
© pode ser maior ou menor do que o volume de .
(D) é maior do que o volume de .
(E) Não sei
Dados os vetores e :
determine e .
Determine a equação vetorial e as equações simétricas da reta que passa pelos pontos e B .
Seja a transformação linear para a qual e . Determine .