(a) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma matriz não nula de tamanho que seja igual à sua transposta, ou seja, . Estamos lidando com o conteúdo de Matrizes Simétricas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz simétrica e como construir uma matriz que atenda a essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição na matriz original passa para a posição na transposta.
Passo 3
Uma matriz é chamada de simétrica se for igual à sua transposta. Formalmente, é simétrica se . Isso significa que o elemento deve ser igual ao elemento para todos os e .
Passo 4
Para construir uma matriz simétrica , vamos atribuir valores de forma que a condição seja satisfeita. Podemos escolher valores arbitrários para os elementos na diagonal principal e então garantir que os elementos fora da diagonal sejam iguais em posições simétricas.
Passo 5
Vamos escolher valores simples para facilitar. Por exemplo, podemos definir:
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa matriz é realmente simétrica. Calculando a transposta:
Percebemos que , confirmando que construímos uma matriz simétrica não nula.