Determine a equação vetorial da intersecção das superfícies
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a equação vetorial da intersecção entre duas superfícies: a equação
, que representa um elipsoide, e a equação
com a condição
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação do elipsoide. Dividindo todos os termos por 81, temos:
Isso nos mostra que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 3, 9 e 3 nos eixos x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Agora, sabemos que na intersecção das duas superfícies,
também é igual a
. Então, podemos substituir
por
na equação do elipsoide:
Passo 4
Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 81 para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, podemos isolar
:
Como
, então
Passo 6
Para parametrizar a curva de intersecção, vamos escolher
como parâmetro
. Assim, temos:
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, a equação vetorial da intersecção é:
Resposta
A equação vetorial da intersecção é
, onde
.
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.
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.
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.
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está sobre o plano
.