Determine a equação vetorial da intersecção das superfícies 9 x^2 + y^2 + 9 z^2 = 81 com y = x^2 (z > 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar a equação vetorial da intersecção entre duas superfícies: a equação , que representa um elipsoide, e a equação com a condição . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação do elipsoide. Dividindo todos os termos por 81, temos:
Isso nos mostra que o elipsoide tem semi-eixos de comprimento 3, 9 e 3 nos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, sabemos que na intersecção das duas superfícies, y também é igual a x^2. Então, podemos substituir y por x^2 na equação do elipsoide:

Passo 4

Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 81 para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, podemos isolar z^2:
Como , então

Passo 6

Para parametrizar a curva de intersecção, vamos escolher x como parâmetro t. Assim, temos:

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, a equação vetorial da intersecção é:

Resposta

A equação vetorial da intersecção é , onde .

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