Determine uma equação vetorial para o plano
que
b) Tem vetor normal
e contém o ponto
b) Tem vetor normal
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre geometria analítica! O enunciado pede para encontrarmos a equação vetorial de um plano que tem um vetor normal
e passa pelo ponto
. Isso envolve entender o que é um plano no espaço, o que é um vetor normal e como usar essas informações para montar a equação vetorial do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor normal a um plano é um vetor que é perpendicular a todo o plano. No caso, o vetor normal dado é
. Isso significa que qualquer vetor que esteja no plano será perpendicular a esse vetor.
Passo 3
Agora, para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que pertence ao plano e de dois vetores que estão no plano. Já temos o ponto
. Vamos chamar esses dois vetores que estão no plano de
e
. Eles devem satisfazer a condição de serem perpendiculares ao vetor normal
.
Passo 4
Como temos apenas o vetor normal, uma forma mais direta de escrever a equação vetorial do plano é usando a forma geral da equação do plano:
, onde
é um vetor posição genérico no plano e
é o vetor posição do ponto conhecido no plano, que nesse caso é
.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula. O vetor posição do ponto
é
. O vetor genérico no plano é
. Substituindo na equação:
Passo 6
Fazendo a subtração dentro do produto escalar:
Isso resulta em:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Juntando os termos semelhantes:
Ou, de forma mais simplificada:
Resposta
A equação vetorial do plano
é
.