Determine uma equação vetorial para o plano que
b) Tem vetor normal e contém o ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre geometria analítica! O enunciado pede para encontrarmos a equação vetorial de um plano que tem um vetor normal e passa pelo ponto . Isso envolve entender o que é um plano no espaço, o que é um vetor normal e como usar essas informações para montar a equação vetorial do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um vetor normal a um plano é um vetor que é perpendicular a todo o plano. No caso, o vetor normal dado é . Isso significa que qualquer vetor que esteja no plano será perpendicular a esse vetor.
Passo 3
Agora, para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que pertence ao plano e de dois vetores que estão no plano. Já temos o ponto . Vamos chamar esses dois vetores que estão no plano de e . Eles devem satisfazer a condição de serem perpendiculares ao vetor normal .
Passo 4
Como temos apenas o vetor normal, uma forma mais direta de escrever a equação vetorial do plano é usando a forma geral da equação do plano: , onde é um vetor posição genérico no plano e é o vetor posição do ponto conhecido no plano, que nesse caso é .
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula. O vetor posição do ponto é . O vetor genérico no plano é . Substituindo na equação: