Determine uma equação vetorial para o plano pi que
b) Tem vetor normal n=(1,1,1) e contém o ponto A=(-1,-2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre geometria analítica! O enunciado pede para encontrarmos a equação vetorial de um plano que tem um vetor normal n = (1,1,1) e passa pelo ponto A = (-1,-2,0). Isso envolve entender o que é um plano no espaço, o que é um vetor normal e como usar essas informações para montar a equação vetorial do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor normal a um plano é um vetor que é perpendicular a todo o plano. No caso, o vetor normal dado é n = (1,1,1). Isso significa que qualquer vetor que esteja no plano será perpendicular a esse vetor.

Passo 3

Agora, para escrever a equação vetorial do plano, precisamos de um ponto que pertence ao plano e de dois vetores que estão no plano. Já temos o ponto A = (-1,-2,0). Vamos chamar esses dois vetores que estão no plano de u e v. Eles devem satisfazer a condição de serem perpendiculares ao vetor normal n.

Passo 4

Como temos apenas o vetor normal, uma forma mais direta de escrever a equação vetorial do plano é usando a forma geral da equação do plano: n cdot (r - r0) = 0, onde r é um vetor posição genérico no plano e r0 é o vetor posição do ponto conhecido no plano, que nesse caso é A.

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula. O vetor posição do ponto A é r0 = (-1,-2,0). O vetor genérico no plano é r = (x,y,z). Substituindo na equação:
(1,1,1) cdot ( (x,y,z) - (-1,-2,0) ) = 0

Passo 6

Fazendo a subtração dentro do produto escalar:
(1,1,1) cdot (x + 1, y + 2, z - 0) = 0
Isso resulta em:
1 cdot (x + 1) + 1 cdot (y + 2) + 1 cdot z = 0

Passo 7

Simplificando a expressão:
x + 1 + y + 2 + z = 0
Juntando os termos semelhantes:
x + y + z + 3 = 0
Ou, de forma mais simplificada:
x + y + z = -3

Resposta

A equação vetorial do plano pi é x + y + z = -3.

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