Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
c) Passa pelos pontos A=(1,2,3) e B=(-3,-2,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta se move e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de d = B - A = (-3 - 1, -2 - 2, -1 - 3) = (-4, -4, -4) das de d = (1, 1, 1) :
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por :

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
r = A + td
Onde r = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) é o vetor posição do ponto e é um parâmetro real. Substituindo os valores:

Passo 4

Em seguida, vamos transformar a equação vetorial em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada x = 1 + t y = 2 + t z = 3 + t , e em função do parâmetro :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações simétricas. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para t = x - 1 = y - 2 = z - 3 :
x - 11 = y - 21 = z - 31
Então, as equações simétricas são:

Passo 6

Finalmente, vamos verificar se podemos escrever uma equação reduzida. Como os coeficientes dos denominadores nas equações simétricas são todos iguais a 1, a forma reduzida já está atendida. Portanto, não há necessidade de simplificar mais.

Resposta

As equações da reta que passa pelos pontos r = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) e x = 1 + t y = 2 + t z = 3 + t são:
  • Equação Vetorial:
    x - 11 = y - 21 = z - 31
  • Equações Paramétricas:
  • Equações Simétricas:
  • Equação Reduzida:
    Já está representada pelas equações simétricas, já que os denominadores são iguais a 1.

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Determine uma equação vetorial para o plano pi que
b) Tem vetor normal n=(1,1,1) e contém o ponto A=(-1,-2,0)
Determine a equação geral do plano pi que
b) passa pelo ponto A=(2,1,-2) e é perpendicular a reta
r:l x=-4+3 t y=1+2 t z=t
Mostrar que a reta
r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda
é paralela ao plano pi: x+2 y+z+3=0.