Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
c) Passa pelos pontos e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de Geometria Analítica no Espaço para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta se move e pode ser encontrado subtraindo as coordenadas de das de :
Podemos simplificar esse vetor dividindo todos os componentes por :
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial da reta. A equação vetorial tem a forma:
Onde é o vetor posição do ponto e é um parâmetro real. Substituindo os valores:
Passo 4
Em seguida, vamos transformar a equação vetorial em equações paramétricas. Isso significa expressar cada coordenada , e em função do parâmetro :
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações simétricas. Para isso, resolvemos cada equação paramétrica para t = x - 1 = y - 2 = z - 3 :
x - 11 = y - 21 = z - 31
Então, as equações simétricas são:
Passo 6
Finalmente, vamos verificar se podemos escrever uma equação reduzida. Como os coeficientes dos denominadores nas equações simétricas são todos iguais a 1, a forma reduzida já está atendida. Portanto, não há necessidade de simplificar mais.
Resposta
As equações da reta que passa pelos pontos r = (1, 2, 3) + t(1, 1, 1) e x = 1 + t y = 2 + t z = 3 + t são:
Equação Vetorial:
x - 11 = y - 21 = z - 31
Equações Paramétricas:
Equações Simétricas:
Equação Reduzida:
Já está representada pelas equações simétricas, já que os denominadores são iguais a 1.