Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para mostrar que uma certa reta é paralela a um plano . Pra fazer isso, a gente vai precisar entender direções de vetores e como eles se relacionam com planos. Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano e ver como eles se comportam juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda . A equação da reta está assim:
d = (3, -2, 1)
O vetor diretor é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro . Então, o vetor diretor é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano pi: x + 2y + z + 3 = 0 . A equação do plano é:
n = (1, 2, 1)
O vetor normal é composto pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, temos:
Passo 4
Para verificar se a reta é paralela ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso acontece se o produto escalar entre d cdot n = 3 times 1 + (-2) times 2 + 1 times 1 = 3 - 4 + 1 = 0 e for zero. Vamos calcular:
Como o produto escalar deu zero, os vetores são perpendiculares.
Resposta
Como o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano , a reta é paralela ao plano .