Mostrar que a reta
r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda
é paralela ao plano pi: x+2 y+z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que o exercício está pedindo é para mostrar que uma certa reta é paralela a um plano . Pra fazer isso, a gente vai precisar entender direções de vetores e como eles se relacionam com planos. Vamos precisar identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano e ver como eles se comportam juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor diretor da reta r:l x=1+3 lambda y=-1-2 lambda z=lambda . A equação da reta está assim:
d = (3, -2, 1)
O vetor diretor é dado pelos coeficientes que multiplicam o parâmetro . Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano pi: x + 2y + z + 3 = 0 . A equação do plano é:
n = (1, 2, 1)
O vetor normal é composto pelos coeficientes de , e na equação do plano. Então, temos:

Passo 4

Para verificar se a reta é paralela ao plano, precisamos ver se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano. Isso acontece se o produto escalar entre d cdot n = 3 times 1 + (-2) times 2 + 1 times 1 = 3 - 4 + 1 = 0 e for zero. Vamos calcular:
Como o produto escalar deu zero, os vetores são perpendiculares.

Resposta

Como o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano , a reta é paralela ao plano .

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