Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
b) Passa pelo ponto e é perpendicular a aos vetores e
Passo 1
Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas de uma reta. Essa reta passa pelo ponto e é perpendicular aos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, já que a reta é perpendicular aos vetores e , o vetor diretor da reta será perpendicular a ambos. Para encontrar esse vetor diretor, vamos calcular o produto vetorial de e .
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Então, o vetor diretor da reta é .
Passo 3
Agora que temos o ponto pelo qual a reta passa, r = P + td , e o vetor diretor r = (0, 0, 1) + t(-3, 2, 1) , podemos escrever a equação vetorial da reta:
Onde é um parâmetro real que varia.
Passo 4
A partir da equação vetorial, podemos extrair as equações paramétricas da reta. Isso significa separar cada componente em uma equação diferente:
x = 0 - 3t y = 0 + 2t z = 1 + t
x = -3t y = 2t z = 1 + t
Passo 5
Para as equações simétricas, a gente elimina o parâmetro t = x-3 = y2 = z - 11 das equações paramétricas. Fazemos isso isolando x-3 = y2 = z - 11 em cada uma:
Então, as equações simétricas ficam:
Passo 6
Por fim, nas equações reduzidas, a gente escreve as variáveis em termos umas das outras, sem o parâmetro x = -3t Rightarrow t = x-3 . A partir das equações paramétricas: