Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
b) Passa pelo ponto P=(0,0,1) e é perpendicular a aos vetores u=
(1,1,1) e v=(1,2,-1)

Passo 1

Vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas de uma reta. Essa reta passa pelo ponto e é perpendicular aos vetores e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, já que a reta é perpendicular aos vetores d = u times v = i & j & k 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 e d = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 2) - j(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) + k(1 cdot 2 - 1 cdot 1) , o vetor diretor da reta será perpendicular a ambos. Para encontrar esse vetor diretor, vamos calcular o produto vetorial de d = i(-1 - 2) - j(-1 - 1) + k(2 - 1) e d = -3i + 2j +1k .
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Então, o vetor diretor da reta é .

Passo 3

Agora que temos o ponto pelo qual a reta passa, r = P + td , e o vetor diretor r = (0, 0, 1) + t(-3, 2, 1) , podemos escrever a equação vetorial da reta:
Onde é um parâmetro real que varia.

Passo 4

A partir da equação vetorial, podemos extrair as equações paramétricas da reta. Isso significa separar cada componente em uma equação diferente:
x = 0 - 3t y = 0 + 2t z = 1 + t
x = -3t y = 2t z = 1 + t

Passo 5

Para as equações simétricas, a gente elimina o parâmetro t = x-3 = y2 = z - 11 das equações paramétricas. Fazemos isso isolando x-3 = y2 = z - 11 em cada uma:
Então, as equações simétricas ficam:

Passo 6

Por fim, nas equações reduzidas, a gente escreve as variáveis em termos umas das outras, sem o parâmetro x = -3t Rightarrow t = x-3 . A partir das equações paramétricas:
y = 2t Rightarrow y = 2(x-3) = -23x
z = 1 + t Rightarrow z = 1 + x-3 = 1 - x3
y = -23x e z = 1 - x3
Então, podemos escrever:

Resposta

As equações da reta são:
  • Equação Vetorial:
r = (0, 0, 1) + t(-3, 2, 1)
  • Equações Paramétricas:
x = -3t y = 2t z = 1 + t
  • Equações Simétricas:
x-3 = y2 = z - 11
  • Equações Reduzidas:
y = -23x e z = 1 - x3

Exercícios relacionados

Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (quando for possível) da reta que
a) Passa pelo ponto P=(1,2,1) e tem vetor diretor v=(-3,2,5)
Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é simultaneamente ortogonal às retas
r: x2=y-1=z-3-2 e r:ly=3 x-1 z=-x+4
Determine a equação geral do plano pi que
b) passa pelo ponto A=(2,1,-2) e é perpendicular a reta
r:l x=-4+3 t y=1+2 t z=t
Determine uma equação vetorial para o plano pi que
b) Tem vetor normal n=(1,1,1) e contém o ponto A=(-1,-2,0)