Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação lang<=, rang<= é um produto interno no espaço vetorial V.
V=R^2, u=(x1, y1), v=(x2, y2) e lang<= u, vrang<==2 x1 x2+4 y1 y2.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos que verificar se a aplicação definida por
lang<= u, v rang<= = 2x1x2 + 4y1y2
é um produto interno no espaço vetorial . Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um produto interno:
  1. Simetria:
  2. Positividade: e se e somente se
  3. Linearidade: para quaisquer vetores e escalares
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Verificando a Simetria
A simetria exige que trocar os vetores lang<= u, v rang<= = 2x1x2 + 4y1y2 e lang<= v, u rang<= = 2x2x1 + 4y2y1 na aplicação não muda o resultado. Vamos testar isso:
lang<= u, v rang<= = lang<= v, u rang<=
Como multiplicação é comutativa ( e ), temos:
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.

Passo 3

Verificando a Positividade
A positividade exige que lang<= u, u rang<= = 2x1x1 + 4y1y1 = 2x1^2 + 4y1^2 para todo vetor 2x1^2 + 4y1^2 >= 0 , e que somente quando .
Calculando :
Como e , temos que:
Além disso, se e somente se e , ou seja, .
Portanto, a propriedade de positividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a Linearidade
A linearidade na primeira posição significa que, para quaisquer vetores lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= e escalares a u + b w = (a x1 + b x3, a y1 + b y3) , temos:
2(a x1 + b x3)x2 + 4(a y1 + b y3)y2 = 2a x1x2 + 2b x3x2 + 4a y1y2 + 4b y3y2
Vamos verificar isso usando a definição da aplicação:
Se a(2x1x2 + 4y1y2) + b(2x3x2 + 4y3y2) = 2a x1x2 + 4a y1y2 + 2b x3x2 + 4b y3y2 e lang<= a u + b w, v rang<= = a lang<= u, v rang<= + b lang<= w, v rang<= , então:
Calculando :
Agora, calculando :
Observamos que os dois resultados são iguais, ou seja:
Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita.

Resposta

Sim, a aplicação é um produto interno no espaço vetorial .

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