Verifique, em cada um dos itens abaixo, se a aplicação
,
é um produto interno no espaço vetorial
.
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos que verificar se a aplicação definida por
é um produto interno no espaço vetorial
. Para isso, precisamos lembrar das propriedades que definem um produto interno:
- Simetria:
- Positividade:
e se e somente se - Linearidade:
para quaisquer vetores e escalares
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Verificando a Simetria
A simetria exige que trocar os vetores
e
na aplicação não muda o resultado. Vamos testar isso:
Como multiplicação é comutativa (
e
), temos:
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.
Passo 3
Verificando a Positividade
A positividade exige que
para todo vetor
, e que
somente quando
.
Calculando
:
Como
e
, temos que:
Além disso,
se e somente se
e
, ou seja,
.
Portanto, a propriedade de positividade está satisfeita.
Passo 4
Verificando a Linearidade
A linearidade na primeira posição significa que, para quaisquer vetores
e escalares
, temos:
Vamos verificar isso usando a definição da aplicação:
Se
e
, então:
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que os dois resultados são iguais, ou seja:
Portanto, a propriedade de linearidade está satisfeita.
Resposta
Sim, a aplicação
é um produto interno no espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
Sendo
e dado um conjunto de elementos de
,
.
Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
Verifique se o conjunto é L.I. ou L.D.
Determine uma equação vetorial para o plano
que
a) Contém os pontos e
.
a) Contém os pontos
Em cada um dos itens abaixo determinar
.
com o produto interno usual,
.
Verifique se é possível escrever o vetor
como combinação linear dos outros vetores dados:
.