Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro com o plano . Esboce o traço da curva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma equação vetorial que represente a curva formada pela interseção do cilindro com o plano . Estamos trabalhando com geometria analítica aqui, especificamente com superfícies e suas interseções. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar uma das superfícies e substituir na outra para encontrar a relação entre as coordenadas. Vamos em frente!
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro . Um jeito fácil de fazer isso é usando coordenadas polares no plano XY. Podemos definir:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a . Como o cilindro se estende indefinidamente ao longo do eixo Z, podemos deixar como uma variável livre. Mas, já que vamos intersectar com o plano , vamos relacionar com .
Passo 3
Agora, substituímos na equação do plano para encontrar :
Então, temos todas as três coordenadas em termos do parâmetro :
Resposta
A equação vetorial que representa a curva de interseção é:
Esboço da Curva
Para esboçar o traço da curva, imagine o cilindro verticalizando ao longo do eixo Z. O plano inclina-se de forma que corta o cilindro, criando uma curva fechada que se parece com uma circunferência deslocada no espaço tridimensional.