Encontre o valor de a para o qual a solução do PVI
permaneça finita quando
.
Passo 1
Vamos lá! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) onde precisamos encontrar o valor de
que faz com que a solução da equação diferencial
com a condição inicial
permanecer finita quando
tende ao infinito. Basicamente, queremos descobrir qual valor de
evita que a solução “exploda” para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Observamos que é uma equação linear de primeira ordem da forma geral:
Neste caso, podemos reescrever nossa equação como:
Assim, identificamos
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a encontrar a solução. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por esse fator:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
, multiplicamos tudo por
:
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Simplificando:
Passo 6
Substituindo
na solução geral:
Agora, queremos que a solução permaneça finita quando
. O termo
tende ao infinito a menos que o coeficiente seja zero. Portanto:
Resposta
O valor de
que garante que a solução permaneça finita quando
é
.
Exercícios relacionados
Determine uma equação vetorial que represente a curva obtida pela intersecção do cilindro
com o plano
. Esboce o traço da curva.
a)
b) .
c) Usando a função gama mostre que
b)
c) Usando a função gama mostre que
Encontre a solução do PVI dado.
(iii)
(iii)
Encontre a solução do PVI dado.
(iv)
(iv)