Encontre o valor de a para o qual a solução do PVI
y' - y = 1 + 3 sen(t) y(0) = a 1 de 2
permaneça finita quando t -> infinito.

Passo 1

Vamos lá! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) onde precisamos encontrar o valor de que faz com que a solução da equação diferencial
com a condição inicial permanecer finita quando tende ao infinito. Basicamente, queremos descobrir qual valor de evita que a solução “exploda” para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Observamos que é uma equação linear de primeira ordem da forma geral:
Neste caso, podemos reescrever nossa equação como:
Assim, identificamos e .

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a encontrar a solução. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação original por esse fator:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar , multiplicamos tudo por :
Agora, aplicamos a condição inicial :
Simplificando:

Passo 6

Substituindo na solução geral:
Agora, queremos que a solução permaneça finita quando . O termo tende ao infinito a menos que o coeficiente seja zero. Portanto:

Resposta

O valor de que garante que a solução permaneça finita quando é .

Exercícios relacionados