Mostre que são lineares as aplicações dadas. F: R^3 R^2 definida por F(x, y, z)=(x+2 y-3 z, 4 x-5 y+6 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a aplicação definida por é linear. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear. Vamos precisar verificar duas coisas principais: se preserva a adição de vetores e se preserva a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
  1. Adição de Vetores:
  2. Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função .

Passo 3

Verificando a Adição de Vetores:
Sejam u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2) e F(u + v) = F(x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2) = ( (x1 + x2) + 2(y1 + y2) - 3(z1 + z2), , 4(x1 + x2) - 5(y1 + y2) + 6(z1 + z2) ) . Então,
= ( x1 + 2y1 - 3z1 + x2 + 2y2 - 3z2, , 4x1 - 5y1 + 6z1 + 4x2 - 5y2 + 6z2 )
Aplicando F(u) = (x1 + 2y1 - 3z1, , 4x1 - 5y1 + 6z1) nessa soma:
F(v) = (x2 + 2y2 - 3z2, , 4x2 - 5y2 + 6z2)
Simplificando cada componente:
F(u) + F(v) = (x1 + 2y1 - 3z1 + x2 + 2y2 - 3z2, , 4x1 - 5y1 + 6z1 + 4x2 - 5y2 + 6z2)
Agora, vamos calcular :
Comparando com , vemos que são iguais. Então, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja cu = (cx, , cy, , cz) um escalar e F(cu) = F(cx, , cy, , cz) = ( cx + 2(cy) - 3(cz), , 4(cx) - 5(cy) + 6(cz) ) . Então,
= ( c(x + 2y - 3z), , c(4x - 5y + 6z) ) = c cdot (x + 2y - 3z, , 4x - 5y + 6z) = cF(u)
Aplicando nesse vetor:
Simplificando cada componente:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, concluímos que a aplicação é linear.

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