Mostre que são lineares as aplicações dadas.
definida por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a aplicação
definida por
é linear. A gente vai usar conceitos de álgebra linear, especificamente as propriedades que definem uma transformação linear. Vamos precisar verificar duas coisas principais: se
preserva a adição de vetores e se preserva a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades são verdadeiras:
- Adição de Vetores:
- Multiplicação por Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a nossa função
.
Passo 3
Verificando a Adição de Vetores:
Sejam
e
. Então,
Aplicando
nessa soma:
Simplificando cada componente:
Agora, vamos calcular
:
Comparando com
, vemos que são iguais. Então, a propriedade da adição de vetores é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Multiplicação por Escalar:
Seja
um escalar e
. Então,
Aplicando
nesse vetor:
Simplificando cada componente:
Então, a propriedade da multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
Como as duas propriedades de linearidade foram verificadas, concluímos que a aplicação
é linear.