Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
T: M(2,2) R^2 definida por T([llx & y z & w])=(x+y, 0).

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a função T( x & y z & w ) = (x + y, 0) definida por
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear e verificar se a função satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é uma transformação linear se, para quaisquer vetores e e qualquer escalar , as seguintes duas condições são satisfeitas:
  1. Adiçamento:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam duas matrizes x1 & y1 z1 & w1 e x2 & y2 z2 & w2 .
Então,
A + B = x1 + x2 & y1 + y2 z1 + z2 & w1 + w2
Aplicando T(A + B) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), 0) = (x1 + y1 + x2 + y2, 0) :
T(A) + T(B) = (x1 + y1, 0) + (x2 + y2, 0) = (x1 + y1 + x2 + y2, 0)
Agora, aplicando individualmente e depois somando:
Como , a propriedade de adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Seja x & y z & w um escalar e cA = c x & c y c z & c w .
Então,
T(cA) = (c x + c y, 0) = c(x + y, 0) = cT(A)
Aplicando :
Como , a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.

Resposta

A função é uma transformação linear.

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