Determine quais das seguintes funções são transformações lineares:
definida por
.
Passo 1
Vamos analisar o exercício: precisamos determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para resolver isso, vamos utilizar os conceitos de transformações lineares da álgebra linear e verificar se a função
satisfaz as propriedades necessárias para ser considerada linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é uma transformação linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições são satisfeitas:
- Adiçamento:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam duas matrizes
e
.
Então,
Aplicando
:
Agora, aplicando
individualmente e depois somando:
Como
, a propriedade de adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Seja
um escalar e
.
Então,
Aplicando
:
Como
, a propriedade de multiplicação por escalar também é satisfeita.
Resposta
A função
é uma transformação linear.