Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada: P=(2,-1) e r: 2 x-3 y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta dada . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a direção da reta 2x - 3y = 1 -3y = -2x + 1 y = 23x - 13 . A equação dada é 3 2 . Para facilitar, vamos transformar essa equação na forma implícita , onde é o coeficiente angular (slope).
Reorganizando:
Então, o coeficiente angular da reta é . Isso nos dá a direção da reta através do vetor diretor . (Lembrando que o vetor diretor é obtido a partir dos coeficientes de e na equação da reta).

Passo 3

Agora, queremos uma reta perpendicular à mperp = -1m = -123 = -32 . Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto dos seus coeficientes angulares for . Ou seja, se .
Como para a reta , o coeficiente angular da reta perpendicular será:
Então, a inclinação da reta que queremos é .

Passo 4

Com o coeficiente angular 2 -3 , podemos determinar o vetor diretor da nova reta. Esse vetor será , já que o vetor direção está relacionado com a inclinação da reta.

Passo 5

Agora, usando a equação vetorial de uma reta, que é dada por:
r(t) = r0 + tu
onde 2 -1 é o ponto pelo qual a reta passa e 2 -3 é o vetor diretor.
Sabemos que a reta passa por , então . E o vetor diretor que encontramos é .

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r(t) = 2 -1 + t 2 -3 , t in R

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