Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada:
e r:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação vetorial de uma reta que passa pelo ponto
e que é perpendicular à reta dada
. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a direção da reta
. A equação dada é
. Para facilitar, vamos transformar essa equação na forma implícita
, onde
é o coeficiente angular (slope).
Reorganizando:
Então, o coeficiente angular da reta
é
. Isso nos dá a direção da reta
através do vetor diretor
. (Lembrando que o vetor diretor é obtido a partir dos coeficientes de
e
na equação da reta).
Passo 3
Agora, queremos uma reta perpendicular à
. Sabemos que duas retas são perpendiculares se o produto dos seus coeficientes angulares for
. Ou seja, se
.
Como
para a reta
, o coeficiente angular da reta perpendicular será:
Então, a inclinação da reta que queremos é
.
Passo 4
Com o coeficiente angular
, podemos determinar o vetor diretor da nova reta. Esse vetor será
, já que o vetor direção está relacionado com a inclinação da reta.
Passo 5
Agora, usando a equação vetorial de uma reta, que é dada por:
onde
é o ponto pelo qual a reta passa e
é o vetor diretor.
Sabemos que a reta passa por
, então
. E o vetor diretor que encontramos é
.
Resposta
A equação vetorial da reta é: