Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(m) T: R^2 R^2 dada por
[l x y ] stackrelTmapsto[cc cos theta & -sen theta sen theta & cos theta ][l x y ]
(conhecida como rotação de um ângulo theta );

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se uma transformação específica é linear. Estamos falando de Matrizes e Transformações Lineares, que fazem parte da Álgebra Linear. Vamos precisar entender o que define uma transformação linear para poder analisar se essa rotação que nos deram cumpre esses critérios.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição Vetorial: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação Escalar: para qualquer vetor e escalar .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a transformação que nos foi dada:
T( x y ) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x y
Essa é uma matriz de rotação que gira quaisquer pontos do plano em um ângulo .

Passo 4

Sabemos que toda transformação que pode ser representada por uma multiplicação por uma matriz é linear. Isso porque a multiplicação de matrizes já respeita as duas propriedades que definem a linearidade: adição vetorial e multiplicação escalar.
Para confirmar, vamos verificar as propriedades:
  1. Adição Vetorial:
T( x1 y1 + x2 y2 ) = T( x1 + x2 y1 + y2 ) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x1 + x2 y1 + y2
Isso é igual a:
cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x1 y1 + cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x2 y2 = T( x1 y1 ) + T( x2 y2 )
  1. Multiplica�o Escalar:
T(k x y ) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta kx ky = k cos theta & -sin theta sin theta & cos theta x y = k T( x y )

Resposta

Sim, a transformação definida pela matriz de rotação é linear, pois ela satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação escalar necessárias para ser uma transformação linear.

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