Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(m)
dada por
(conhecida como rotação de um ângulo
);
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se uma transformação específica é linear. Estamos falando de Matrizes e Transformações Lineares, que fazem parte da Álgebra Linear. Vamos precisar entender o que define uma transformação linear para poder analisar se essa rotação que nos deram cumpre esses critérios.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição Vetorial:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação Escalar:
para qualquer vetor e escalar .
Essas propriedades garantem que a transformação preserva a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a transformação que nos foi dada:
Essa é uma matriz de rotação que gira quaisquer pontos do plano
em um ângulo
.
Passo 4
Sabemos que toda transformação que pode ser representada por uma multiplicação por uma matriz é linear. Isso porque a multiplicação de matrizes já respeita as duas propriedades que definem a linearidade: adição vetorial e multiplicação escalar.
Para confirmar, vamos verificar as propriedades:
- Adição Vetorial:
Isso é igual a:
- Multiplica�o Escalar:
Resposta
Sim, a transformação
definida pela matriz de rotação é linear, pois ela satisfaz as propriedades de adição vetorial e multiplicação escalar necessárias para ser uma transformação linear.