Sabendo-se que A e B são matrizes de ordem 3 , det B neq 0 e que A B=4 B, calcular det A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes, e , que são de ordem 3 (ou seja, 3x3). Sabemos também que o determinante de não é zero ( ), o que significa que é inversível. Além disso, foi dado que . Nosso objetivo aqui é calcular o determinante de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que a gente tem: . Como é uma matriz inversível (porque ), a gente pode “cancelar” o dessa equação. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pela inversa de , que é .

Passo 3

Então, multiplicando ambos os lados por A times B times B^-1 = 4 times B times B^-1 :
A times I = 4 times I
Lembrando que A = 4 times I , onde é a matriz identidade (que não muda nada quando multiplicada por outra matriz). Ficamos com:
E como qualquer matriz multiplicada por é ela mesma:

Passo 4

Agora que a gente sabe que det A = 4^3 = 64 , podemos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz escalar como (onde é a matriz identidade de ordem 3) é simplesmente o escalar elevado à potência da ordem da matriz. No nosso caso:

Resposta

O determinante de é 64.

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