Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(a)
dada por
;
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a transformação
definida por
é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar se a função preserva a adição e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
Preservação da adição:
-
Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas condições para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a preservação da adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Comparando os resultados:
Portanto, a transformação preserva a adição.
Passo 4
Verificando a preservação da multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor qualquer
e um escalar
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Comparando os resultados:
Portanto, a transforma��ão preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Como a transformação
preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é linear.