Verifique se as transformações abaixo são lineares:
(a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se a transformação definida por é linear. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem verificar se a função preserva a adição e a multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função T(u + v) = T(u) + T(v) é linear se, para quaisquer vetores T(cu) = cT(u) e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Preservação da adição:
  2. Preservação da multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas condições para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a preservação da adição:
Vamos considerar dois vetores quaisquer em u = (x1, y1) e v = (x2, y2) :
u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
Primeiro, calculamos T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), x1 + x2) = (x1 + x2 + y1 + y2, x1 + x2) :
T(u) = T(x1, y1) = (x1 + y1, x1)
T(v) = T(x2, y2) = (x2 + y2, x2)
Agora, calculamos T(u) + T(v) = (x1 + y1, x1) + (x2 + y2, x2) = (x1 + y1 + x2 + y2, x1 + x2) :
T(u + v) = T(u) + T(v)
Comparando os resultados:
Portanto, a transformação preserva a adição.

Passo 4

Verificando a preservação da multiplicação por escalar:
Vamos considerar um vetor qualquer cu = (cx, cy) e um escalar T(cu) = T(cx, cy) = (cx + cy, cx) = c(x + y, x) .
Primeiro, calculamos T(u) = T(x, y) = (x + y, x) :
cT(u) = c(x + y, x) = (c(x + y), cx) = (cx + cy, cx)
T(cu) = cT(u)
Agora, calculamos :
Comparando os resultados:
Portanto, a transforma��ão preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Como a transformação preserva tanto a adição quanto a multiplicação por escalar, ela é linear.

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