Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é linear, homogênea, separável e/ou exata. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender cada um desses conceitos e aplicar passo a passo para ver quais se encaixam nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se ela puder ser escrita na forma:
onde e são funções que dependem apenas de . Olhando para a nossa equação:
Aqui, temos um no numerador e também um no denominador, o que traz uma complicação. Isso significa que a equação não se encaixa na forma linear padrão, pois temos termos de elevados a potências diferentes de 1. Portanto, a equação não é linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se puder ser escrita de forma que todos os termos sejam do mesmo grau quando substituímos (ou seja, ). Vamos tentar:
Substituindo na equação:
Substituindo na equação original:
Após simplificar, percebemos que a equação mantém a mesma estrutura de proporção entre e , indicando que a equação é homogênea.

Passo 4

Vamos ver se a equação é separável. Uma equação é separável se podemos escrever na forma:
Ou seja, se conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Retornando à nossa equação original:
Expressando em termos de e :
Podemos tentar separar as variáveis, mas a presença de e no numerador e no denominador impede essa separação direta. Portanto, a equação não �� separável.

Passo 5

Por último, vamos checar se a equação é exata. Para uma equação ser exata, ela deve estar na forma:
e deve satisfazer a condição:
Vamos reorganizar a equação:
Aqui, e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Resposta

A equação é homogênea, mas não é linear, separável nem exata.

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