Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para solucioná-la. Vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e como encontrar o fator que facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso, e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo uma derivada exata. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular isso:
Integrando:
Desconsideramos a constante porque ela será cancelada na solução. Então:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou seja, .
Então:
Voltando para :

Passo 6

Agora, igualamos as duas partes:
Para resolver para , dividimos ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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