Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, e vamos usar o método do fator integrante para solucioná-la. Vamos precisar entender um pouco sobre equações lineares e como encontrar o fator que facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. Ela está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função
que, quando multiplicada por toda a equação, torna o lado esquerdo uma derivada exata. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular isso:
Integrando:
Desconsideramos a constante porque ela será cancelada na solução. Então:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou seja,
.
Então:
Seja
Então:
Voltando para
:
Passo 6
Agora, igualamos as duas partes:
Para resolver para
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.