Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial
e precisamos transformá-la em uma equação diferencial separável. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Depois disso, a gente vai resolver integrando ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Começamos reconhecendo que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Então, a equação fica:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar
e
:
Passo 3
Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
Começando pela integração do lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos integrar o lado direito, que é um pouco mais complicado. Precisamos usar a técnica de integração por partes para resolver
. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, colocamos tudo junto:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
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