Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial e precisamos transformá-la em uma equação diferencial separável. Isso significa reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Depois disso, a gente vai resolver integrando ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Começamos reconhecendo que é a derivada de em relação a , ou seja, . Então, a equação fica:
Agora, multiplicamos ambos os lados por para separar e :

Passo 3

Agora que temos as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados. A gente tem:
Começando pela integração do lado esquerdo:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos integrar o lado direito, que é um pouco mais complicado. Precisamos usar a técnica de integração por partes para resolver . Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Finalmente, resolvemos para :

Resposta

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