Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
, junto com o problema de valor inicial
. Esse tipo de equação é uma equação linear de primeira ordem, e para resolvê-la, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão:
. Aqui,
e
. Como
, isso simplifica um pouco as coisas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
.
Passo 5
Reescrevemos a equação:
Isso significa que a derivada do produto é zero, então o próprio produto é uma constante.
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvemos para
:
Passo 8
Agora, usamos o valor inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial com o problema de valor inicial dado é: