Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial. y' + 6 x y = 0, y(pi) = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo , junto com o problema de valor inicial . Esse tipo de equação é uma equação linear de primeira ordem, e para resolvê-la, a gente vai precisar usar um método chamado fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação no formato padrão: . Aqui, e . Como , isso simplifica um pouco as coisas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação em uma forma que seja fácil de integrar.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x):
A ideia aqui é que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto .

Passo 5

Reescrevemos a equação:
Isso significa que a derivada do produto é zero, então o próprio produto é uma constante.

Passo 6

Integramos ambos os lados:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Resolvemos para y:

Passo 8

Agora, usamos o valor inicial para encontrar C:

Resposta

A solução da equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

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