Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial é homogênea e, se for, resolvê-la. A equação dada é:
Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais homogêneas e realizar os passos necessários para verificar a homogeneidade e resolver a equação caso seja homogênea.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação diferencial é considerada homogênea se a função que define a derivada satisfaz a condição:
Vamos aplicar essa condição à nossa função:
Substituindo por e por :
Como , a equação diferencial é homogênea.

Passo 3

Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolver utilizando a substituição . Dessa forma, temos:
Substituindo e na equação original:
Rearranjando a equação para isolar :

Passo 4

Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando a fração à esquerda:

Passo 5

Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para , e :
Igualando os numeradores:
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Encontrando os valores:
Portanto:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos todos os termos por -3 para simplificar:
Onde é uma nova constante de integração.
Usando propriedades dos logaritmos:
Onde .

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Substituindo :
Multiplicando ambos os lados por :
Onde é a constante geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.