Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial é homogênea e, se for, resolvê-la. A equação dada é:
Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais homogêneas e realizar os passos necessários para verificar a homogeneidade e resolver a equação caso seja homogênea.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação diferencial é considerada homogênea se a função que define a derivada satisfaz a condição:
Vamos aplicar essa condição à nossa função:
Substituindo por e por :
Como , a equação diferencial é homogênea.
Passo 3
Agora que confirmamos que a equação é homogênea, vamos resolver utilizando a substituição . Dessa forma, temos:
Substituindo e na equação original:
Rearranjando a equação para isolar :
Passo 4
Vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando a fração à esquerda:
Passo 5
Aplicamos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para , e :
Igualando os numeradores:
Comparando os coeficientes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Encontrando os valores:
Portanto:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicamos todos os termos por -3 para simplificar:
Onde é uma nova constante de integração.
Usando propriedades dos logaritmos:
Onde .
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo: