Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos analisar a equação diferencial . O conteúdo envolve conceitos como equações lineares, homogêneas, separáveis e exatas. Para isso, vamos precisar entender cada um desses tipos de equação e aplicar as definições à equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma , onde a função aparece apenas na primeira potência e não está multiplicada por . Observando a nossa equação , vemos que o termo tem multiplicando , o que não se encaixa na forma linear padrão. Portanto, a equação não é linear.

Passo 3

Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos são de mesmo grau quando consideramos como função de . Na nossa equação, o termo tem grau 2 ( ) e também tem grau 2. Como todos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita na forma , permitindo separar as variáveis e . Na equação , ambos os termos contêm , o que impede a separação das variáveis de forma direta. Portanto, a equação não é separável.

Passo 5

Por fim, vamos analisar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se existe uma função potencial tal que , onde e . Para verificar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Resposta

A equação não é linear e não é separável, mas é homogênea e exata.

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