Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos analisar a equação diferencial
. O conteúdo envolve conceitos como equações lineares, homogêneas, separáveis e exatas. Para isso, vamos precisar entender cada um desses tipos de equação e aplicar as definições à equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é linear. Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
, onde a função
aparece apenas na primeira potência e não está multiplicada por
. Observando a nossa equação
, vemos que o termo
tem
multiplicando
, o que não se encaixa na forma linear padrão. Portanto, a equação não é linear.
Passo 3
Agora, vamos ver se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos são de mesmo grau quando consideramos
como função de
. Na nossa equação, o termo
tem grau 2 (
) e
também tem grau 2. Como todos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita na forma
, permitindo separar as variáveis
e
. Na equação
, ambos os termos contêm
, o que impede a separação das variáveis de forma direta. Portanto, a equação não é separável.
Passo 5
Por fim, vamos analisar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se existe uma função potencial
tal que
, onde
e
. Para verificar a exatidão, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Resposta
A equação
não é linear e não é separável, mas é homogênea e exata.
Exercícios relacionados
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem