Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você me enviou: . A gente precisa descobrir se essa equação diferencial é linear, homogênea, separável e/ou exata. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e ver se a equação se encaixa nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é linear. Uma equação linear tem a forma geral:
e deve ser possível escrever como:
onde e são funções de .
Na nossa equação:
Podemos reorganizar para:
Ou seja:
Isso se parece com a forma linear, mas o termo tem um multiplicando , o que não se encaixa na forma linear padrão. Portanto, não é uma equação linear.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideradas e .
Na nossa equação rearranjada:
O termo é de grau 2 (porque e são de grau 1 cada), e o termo constante é de grau 0. Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.

Passo 4

Vamos ver agora se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita na forma:
ou seja, se os termos com podem ser separados dos termos com .
Voltando à nossa equação:
Podemos tentar separar:
Mas não dá para isolar de um lado e do outro facilmente. Portanto, a equação não é separável.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se existir uma função tal que:
Na nossa equação:
Para ser exata, precisamos que:
Calculando:
Como , a equação não satisfaz a condição de exatidão. Então, não é exata.

Resposta

A equação não é linear, não é homogênea, não é separável e não é exata.

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Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.