Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que você me enviou:
. A gente precisa descobrir se essa equação diferencial é linear, homogênea, separável e/ou exata. Para isso, vamos entender cada uma dessas propriedades e ver se a equação se encaixa nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a equação é linear. Uma equação linear tem a forma geral:
e deve ser possível escrever como:
onde
e
são funções de
.
Na nossa equação:
Podemos reorganizar para:
Ou seja:
Isso se parece com a forma linear, mas o termo
tem um
multiplicando
, o que não se encaixa na forma linear padrão. Portanto, não é uma equação linear.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideradas
e
.
Na nossa equação rearranjada:
O termo
é de grau 2 (porque
e
são de grau 1 cada), e o termo constante
é de grau 0. Como os graus são diferentes, a equação não é homogênea.
Passo 4
Vamos ver agora se a equação é separável. Uma equação é separável se pode ser escrita na forma:
ou seja, se os termos com
podem ser separados dos termos com
.
Voltando à nossa equação:
Podemos tentar separar:
Mas não dá para isolar
de um lado e
do outro facilmente. Portanto, a equação não é separável.
Passo 5
Por último, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se existir uma função
tal que:
Na nossa equação:
Para ser exata, precisamos que:
Calculando:
Como
, a equação não satisfaz a condição de exatidão. Então, não é exata.
Resposta
A equação
não é linear, não é homogênea, não é separável e não é exata.
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