Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial é linear, homogênea, separável e/ou exata. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na teoria das equações diferenciais.

Passo 2

Equação Linear: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma , onde e são funções de . No nosso caso, temos , que pode ser reescrita como . Aqui, e , o que mostra que a equação é linear.

Passo 3

Equação Homogênea: Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos são da mesma ordem ou grau. Observando , vemos que o termo é de primeira ordem e também é de primeira ordem, já que é o produto de (de primeira ordem) com . Portanto, a equação é homogênea.

Passo 4

Equação Separável: Uma equação diferencial é separável se pode ser escrita como , onde podemos separar as funções de e em lados opostos da equação. No nosso caso, pode ser reescrito como , o que claramente separa as variáveis e . Assim, a equação é separável.

Passo 5

Equação Exata: Uma equação diferencial é exata se existe uma função tal que , onde . No caso de uma equação linear como a nossa, que não se encaixa diretamente na forma exata, podemos verificar se ela pode ser transformada em uma equação exata. Entretanto, para , não há necessidade de verificar a exatidão, pois já identificamos outras características principais.

Resposta

A equação diferencial é linear, homogênea e separável.

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Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
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