Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a equação diferencial
é linear, homogênea, separável e/ou exata. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa na teoria das equações diferenciais.
Passo 2
Equação Linear: Uma equação diferencial é linear se pode ser escrita na forma
, onde
e
são funções de
. No nosso caso, temos
, que pode ser reescrita como
. Aqui,
e
, o que mostra que a equação é linear.
Passo 3
Equação Homogênea: Uma equação diferencial é homogênea se todos os termos são da mesma ordem ou grau. Observando
, vemos que o termo
é de primeira ordem e
também é de primeira ordem, já que é o produto de
(de primeira ordem) com
. Portanto, a equação é homogênea.
Passo 4
Equação Separável: Uma equação diferencial é separável se pode ser escrita como
, onde podemos separar as funções de
e
em lados opostos da equação. No nosso caso,
pode ser reescrito como
, o que claramente separa as variáveis
e
. Assim, a equação é separável.
Passo 5
Equação Exata: Uma equação diferencial é exata se existe uma função
tal que
, onde
. No caso de uma equação linear como a nossa, que não se encaixa diretamente na forma exata, podemos verificar se ela pode ser transformada em uma equação exata. Entretanto, para
, não há necessidade de verificar a exatidão, pois já identificamos outras características principais.
Resposta
A equação diferencial
é linear, homogênea e separável.
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Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.
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