Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui! Ela envolve encontrar uma função
que depende de
e que satisfaz a equação
com a condição inicial
. O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro o que está acontecendo:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Isso deixa todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, exatamente o que precisamos para uma equação separável.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial
para descobrir o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Sabendo que
:
Resposta
A solução da equação diferencial, considerando a condição inicial, é:
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