Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as: y' = (x^2 * y - y) / (y + 1) ; y(3) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui! Ela envolve encontrar uma função que depende de e que satisfaz a equação com a condição inicial . O conteúdo que vamos usar é sobre equações diferenciais separáveis, que permitem separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar mais claro o que está acontecendo:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por :
Isso deixa todos os termos com de um lado e os termos com do outro, exatamente o que precisamos para uma equação separável.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para descobrir o valor de . Substituímos e na equação:
Sabendo que :

Resposta

A solução da equação diferencial, considerando a condição inicial, é:

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