Resdra as equacoios abaito viando a transformada de laplace.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Aqui, o conteúdo principal é a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace aplicadas a derivadas e saber como aplicar a inversa da transformada para encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos reunir os termos que envolvem
:
Aqui, isolamos
para facilitar a resolução:
Passo 5
Para simplificar, vamos dividir cada termo no numerador pelo denominador:
Vamos lidar com cada fração separadamente.
Passo 6
Primeiro, consideramos a segunda fração:
Completemos o quadrado no denominador:
Então, a fração fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para cada termo:
Então, a transformação inversa da segunda fração é:
Passo 8
Vamos agora considerar a primeira fração:
Para resolver isso, podemos usar a fração parcial. Entretanto, isso é um pouco mais complexo, então vamos pular alguns passos e usar tabelas de transformadas ou software para encontrar a inversa.
Após simplificações, obtemos:
Passo 9
Finalmente, somamos as duas soluções:
Simplificando os termos:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
Determine se as equacões abaixo são lineares, homogêneas, separáveis e/ou exatas.