Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas:
2 x+5 y=1 e 5 x-2 y=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre bissetrizes de ângulos entre duas retas. Precisamos aplicar a fórmula das bissetrizes e fazer alguns cálculos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das duas retas. Podemos reescrever as equações no formato geral 2x + 5y - 1 = 0 .
Para a primeira reta:
5x - 2y + 3 = 0
Aqui, , , e .
Para a segunda reta:
Aqui, , , e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar as bissetrizes dos ângulos entre duas retas:
a1x + b1y + c1raiza1^2 + b1^2 = pm a2x + b2y + c2raiza2^2 + b2^2
Essa fórmula nos dá duas bissetrizes, uma para cada ângulo formado pelas retas.

Passo 4

Vamos calcular os denominadores das frações, que são as normas dos coeficientes das retas.
Para a primeira reta:
raiza1^2 + b1^2 = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29
Para a segunda reta:
raiza2^2 + b2^2 = raiz5^2 + (-2)^2 = raiz25 + 4 = raiz29
Curiosamente, os denominadores são iguais, o que simplifica nossos cálculos.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula das bissetrizes:
2x + 5y - 1raiz29 = pm 5x - 2y + 3raiz29
Podemos multiplicar ambos os lados por 2x + 5y - 1 = pm (5x - 2y + 3) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Vamos resolver para os dois casos do 2x + 5y - 1 = 5x - 2y + 3 :
Caso positivo (+):
2x - 5x + 5y + 2y = 3 + 1
Rearranjando:
-3x + 7y = 4
3x - 7y = -4
Multiplicando por -1 para tornar o coeficiente de 3x - 7y = -4 positivo:
2x + 5y - 1 = - (5x - 2y + 3)
Então, a primeira bissetriz é:
2x + 5y - 1 = -5x + 2y - 3
Caso negativo (-):
2x + 5x + 5y - 2y = -3 + 1
Distribuindo o sinal negativo:
7x + 3y = -2
Rearranjando:
7x + 3y = -2
Então, a segunda bissetriz é:

Resposta

As equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas são:
3x - 7y = -4 e 7x + 3y = -2

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