Determine as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar as equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre bissetrizes de ângulos entre duas retas. Precisamos aplicar a fórmula das bissetrizes e fazer alguns cálculos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das duas retas. Podemos reescrever as equações no formato geral .
Para a primeira reta:
Aqui, , , e .
Para a segunda reta:
Aqui, , , e .
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula para encontrar as bissetrizes dos ângulos entre duas retas:
Essa fórmula nos dá duas bissetrizes, uma para cada ângulo formado pelas retas.
Passo 4
Vamos calcular os denominadores das frações, que são as normas dos coeficientes das retas.
Para a primeira reta:
Para a segunda reta:
Curiosamente, os denominadores são iguais, o que simplifica nossos cálculos.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula das bissetrizes:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 6
Vamos resolver para os dois casos do :
Caso positivo (+):
Rearranjando:
Multiplicando por -1 para tornar o coeficiente de positivo:
Então, a primeira bissetriz é:
Caso negativo (-):
Distribuindo o sinal negativo:
Rearranjando:
Então, a segunda bissetriz é:
Resposta
As equações das bissetrizes dos ângulos formados pelas retas são: