Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas
são dadas pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa converter a equação
de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como as coordenadas cartesianas se relacionam com as outras duas. Vamos usar fórmulas de conversão para fazer essa mudança de sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto até o eixo , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Sabemos que em coordenadas cartesianas,
e
. Vamos substituir isso na equação original.
Passo 3
Substituindo
e
na equação
, temos:
Simplificando:
Fatorando
:
Sabemos que
, então:
Essa é a equação em coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo polar (em relação ao eixo ), -
é o mesmo ângulo azimutal das coordenadas cilíndricas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
Vamos substituir essas expressões na equação original.
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação
, temos:
Simplificando:
Fatorando
:
Como
, temos:
E
, então:
Portanto,
.
Resposta
As equações da superfície são:
- Em coordenadas cilíndricas:
- Em coordenadas esféricas: