Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas pelas equações abaixo: x^2+y^2+z^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa converter a equação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso envolve entender como as coordenadas cartesianas se relacionam com as outras duas. Vamos usar fórmulas de conversão para fazer essa mudança de sistema de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto até o eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo que na coordenada cartesiana.
Sabemos que em coordenadas cartesianas, e . Vamos substituir isso na equação original.

Passo 3

Substituindo (r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 + z^2 = 4 e r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) + z^2 = 4 na equação r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + z^2 = 4 , temos:
r^2 + z^2 = 4
Simplificando:
Fatorando :
Sabemos que , então:
Essa é a equação em coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Agora, vamos converter para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são representadas por x = rho sin(phi) cos(theta) , onde:
  • y = rho sin(phi) sin(theta) é a distância do ponto à origem,
  • z = rho cos(phi) é o ângulo polar (em relação ao eixo ),
  • é o mesmo ângulo azimutal das coordenadas cilíndricas.
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é:
Vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 5

Substituindo (rho sin(phi) cos(theta))^2 + (rho sin(phi) sin(theta))^2 + (rho cos(phi))^2 = 4 , rho^2 sin^2(phi) cos^2(theta) + rho^2 sin^2(phi) sin^2(theta) + rho^2 cos^2(phi) = 4 e rho^2 (sin^2(phi) (cos^2(theta) + sin^2(theta)) + cos^2(phi)) = 4 na equação rho^2 (sin^2(phi) + cos^2(phi)) = 4 , temos:
rho^2 = 4
Simplificando:
Fatorando :
Como , temos:
E , então:
Portanto, .

Resposta

As equações da superfície são:
  • Em coordenadas cilíndricas:
  • Em coordenadas esféricas:

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