Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas
são dadas pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações em coordenadas cilíndricas e esféricas para a superfície que, em coordenadas cartesianas, é dada por
. Vamos usar conhecimentos de conversão entre sistemas de coordenadas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa a equação
no sistema cartesiano. Essa é a equação de um cilindro circular de raio 2, alinhado ao eixo z.
Passo 3
Agora, para converter essa equação para coordenadas cilíndricas, precisamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas
e cilíndricas
:
Além disso, em coordenadas cilíndricas, a condição
é fundamental.
Passo 4
Substituindo
por
na equação original, temos:
Então, em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície é simplesmente:
Passo 5
Agora, vamos converter a mesma superfície para coordenadas esféricas. As relações entre coordenadas cartesianas
e esféricas
são:
E, em coordenadas esféricas, temos que
.
Passo 6
Substituindo
por
na equação original, ficamos com:
Podemos simplificar essa expressão isolando
:
Resposta
A superfície
corresponde a:
- Coordenadas Cilíndricas:
- Coordenadas Esféricas: