Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas pelas equações abaixo: x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações em coordenadas cilíndricas e esféricas para a superfície que, em coordenadas cartesianas, é dada por . Vamos usar conhecimentos de conversão entre sistemas de coordenadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa a equação no sistema cartesiano. Essa é a equação de um cilindro circular de raio 2, alinhado ao eixo z.

Passo 3

Agora, para converter essa equação para coordenadas cilíndricas, precisamos lembrar das relações entre coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta z = z e cilíndricas :
Além disso, em coordenadas cilíndricas, a condição é fundamental.

Passo 4

Substituindo r^2 = 4 por r = 2 na equação original, temos:
Então, em coordenadas cilíndricas, a equação da superfície é simplesmente:

Passo 5

Agora, vamos converter a mesma superfície para coordenadas esféricas. As relações entre coordenadas cartesianas x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi e esféricas são:
E, em coordenadas esféricas, temos que .

Passo 6

Substituindo rho^2 sin^2 phi = 4 por rho = 2sin phi na equação original, ficamos com:
Podemos simplificar essa expressão isolando :

Resposta

A superfície corresponde a:
  • Coordenadas Cilíndricas:
  • Coordenadas Esféricas:

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