Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas
pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço da superfície definida em coordenadas cilíndricas pelas equações
. Aqui, estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que usam três valores:
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em relação ao eixo
), e
(a altura). Para resolver isso, vamos entender como essa equação se comporta e como ela se traduz em um gráfico tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Isso relaciona
e
, enquanto
não está presente na equação, o que significa que
pode ser qualquer valor. Basicamente, a superfície será a mesma para todos os níveis de
.
Passo 3
Para entender melhor, vamos converter essa equação para coordenadas cartesianas (
). Sabemos que:
Substituindo
na equação de
:
E sabemos que
, mas talvez seja mais fácil reescrever a equação diretamente.
Passo 4
Vamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 5
Agora, vamos rearranjar essa equação para identificar a forma geométrica:
Completa o quadrado para a parte de
:
Essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
.
Passo 6
Como
não está limitado, esse círculo se estende em todas as direções ao longo do eixo
. Então, a superfície é na verdade um cilindro circular com eixo paralelo ao eixo
, centroando-se no ponto
para qualquer
.
Resposta
A superfície
é um cilindro circular paralelo ao eixo
, com centro no ponto
e raio
. Ou seja, é um cilindro de raio 2 deslocado 2 unidades no eixo
.