Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (r, theta, z) pelas equações abaixo: r=4 sin theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente fazer um esboço da superfície definida em coordenadas cilíndricas pelas equações . Aqui, estamos trabalhando com coordenadas cilíndricas, que usam três valores: (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ), e (a altura). Para resolver isso, vamos entender como essa equação se comporta e como ela se traduz em um gráfico tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Isso relaciona e , enquanto não está presente na equação, o que significa que pode ser qualquer valor. Basicamente, a superfície será a mesma para todos os níveis de .

Passo 3

Para entender melhor, vamos converter essa equação para coordenadas cartesianas ( x = r cos theta e y = r sin theta ). Sabemos que:
y = 4 sin theta cdot sin theta = 4 sin^2 theta
Substituindo na equação de :
E sabemos que , mas talvez seja mais fácil reescrever a equação diretamente.

Passo 4

Vamos expressar r = 4 sin theta implies r = 4yr implies r^2 = 4y em termos de x^2 + y^2 = 4y . Sabemos que , então:
Sabendo que , substituímos:

Passo 5

Agora, vamos rearranjar essa equação para identificar a forma geométrica:
x^2 + y^2 - 4y = 0
Completa o quadrado para a parte de x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4 :
x^2 + (y - 2)^2 = 4
Essa é a equação de um círculo com centro em e raio .

Passo 6

Como não está limitado, esse círculo se estende em todas as direções ao longo do eixo . Então, a superfície é na verdade um cilindro circular com eixo paralelo ao eixo , centroando-se no ponto para qualquer .

Resposta

A superfície é um cilindro circular paralelo ao eixo , com centro no ponto e raio . Ou seja, é um cilindro de raio 2 deslocado 2 unidades no eixo .

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