Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas
são dadas pelas equações abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
no sistema de coordenadas cartesianas
. Nosso objetivo aqui é converter essa equação para os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas funciona e como fazer a conversão entre eles. Vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos
onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano . -
é o ângulo entre o eixo e a projeção do ponto no plano . -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
As relações de conversão são:
Passo 3
Agora, queremos substituir
e
na equação
usando as fórmulas de coordenadas cilíndricas:
Como
(a menos que estejamos na origem, mas estamos falando de uma superfície), podemos dividir os dois lados por
:
Passo 4
Resolvendo
, podemos dividir os dois lados por
(desde que
):
Isso significa que a superfície
em coordenadas cilíndricas é onde o ângulo
é
mais múltiplos de
.
Passo 5
Então, a equação em coordenadas cilíndricas fica:
Mas geralmente, para representar a superfície completa, usamos apenas
e
, que correspondem às duas direções onde
.
Passo 6
Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos
onde:
-
é a distância do ponto à origem. -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo . -
é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, entre o eixo e a projeção no plano .
As relações de conversão são:
Passo 7
Substituindo
e
na equação
:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
e
):
Isso nos leva de volta à mesma equação que resolvemos antes para
.
Passo 8
Assim, a solução é:
Então, em coordenadas esféricas, a equação da superfície
também é definida por esses valores de
.
Resposta
Em coordenadas cilíndricas, a superfície
é dada por
ou
.
Em coordenadas esféricas, a superfície também é definida por
ou
.
Em coordenadas esféricas, a superfície