Determine as equações em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas pelas equações abaixo: x=y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação x = y no sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z). Nosso objetivo aqui é converter essa equação para os sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas. Para isso, vamos precisar entender como cada sistema de coordenadas funciona e como fazer a conversão entre eles. Vamos precisar das fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos (r, theta, z) onde:
  • r é a distância do ponto à origem no plano xy.
  • theta é o ângulo entre o eixo x e a projeção do ponto no plano xy.
  • z é a mesma coordenada z do sistema cartesiano.
As relações de conversão são:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z

Passo 3

Agora, queremos substituir x e y na equação x = y usando as fórmulas de coordenadas cilíndricas:
r costheta = r sintheta
Como r neq 0 (a menos que estejamos na origem, mas estamos falando de uma superfície), podemos dividir os dois lados por r:
costheta = sintheta

Passo 4

Resolvendo costheta = sintheta, podemos dividir os dois lados por costheta (desde que costheta neq 0):
1 = tantheta Rightarrow theta = pi4 + kpi, k in Z
Isso significa que a superfície x = y em coordenadas cilíndricas é onde o ângulo theta é pi4 mais múltiplos de pi.

Passo 5

Então, a equação em coordenadas cilíndricas fica:
theta = pi4 + kpi, k in Z
Mas geralmente, para representar a superfície completa, usamos apenas theta = pi4 e theta = 5pi4, que correspondem às duas direções onde x = y.

Passo 6

Agora, vamos para as coordenadas esféricas. Nesse sistema, usamos (rho, phi, theta) onde:
  • rho é a distância do ponto à origem.
  • phi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
  • theta é o mesmo ângulo do sistema cilíndrico, entre o eixo x e a projeção no plano xy.
As relações de conversão são:
x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi

Passo 7

Substituindo x e y na equação x = y:
rho sinphi costheta = rho sinphi sintheta
Dividindo ambos os lados por rho sinphi (desde que rho neq 0 e phi neq 0, pi):
costheta = sintheta
Isso nos leva de volta à mesma equação que resolvemos antes para theta.

Passo 8

Assim, a solução é:
theta = pi4 + kpi, k in Z
Então, em coordenadas esféricas, a equação da superfície x = y também é definida por esses valores de theta.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas, a superfície x = y é dada por theta = dfracpi4 ou theta = dfrac5pi4.
Em coordenadas esféricas, a superfície x = y também é definida por theta = dfracpi4 ou theta = dfrac5pi4.

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