Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolvê-la. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações homogêneas de primeira ordem. Precisaremos entender o que torna uma equação homogênea e aplicar técnicas de substituição para resolver se ela for homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial homogênea. Uma equação é considerada homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. No contexto de equações diferenciais, isso geralmente significa que podemos escrever a função do lado direito como uma função de
.
Nossa equação é:
Vamos simplificar essa expressão para verificar se ela é homogênea.
Passo 3
Vamos dividir o numerador e o denominador por
:
Agora, vamos chamar
. Isso simplifica nossa equação.
Passo 4
Substituindo
, temos que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 7
As integrais ficam:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde
. Podemos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
Sim, a equação diferencial é homogênea, e sua solução geral é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais dadas
Escreva a equação diferencial na forma normal
Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
Determine os valores de
e
de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas.
.