Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as y' = (x^2 + 2y^2) / (xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolvê-la. A matéria que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais, especificamente sobre equações homogêneas de primeira ordem. Precisaremos entender o que torna uma equação homogênea e aplicar técnicas de substituição para resolver se ela for homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial homogênea. Uma equação é considerada homogênea se todos os termos podem ser expressos como funções homogêneas do mesmo grau. No contexto de equações diferenciais, isso geralmente significa que podemos escrever a função do lado direito como uma função de .
Nossa equação é:
Vamos simplificar essa expressão para verificar se ela é homogênea.

Passo 3

Vamos dividir o numerador e o denominador por :
Agora, vamos chamar . Isso simplifica nossa equação.

Passo 4

Substituindo , temos que . Agora, vamos derivar em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Então, temos:

Passo 6

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 7

As integrais ficam:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde . Podemos simplificar a expressão exponenciando ambos os lados:
Onde é uma constante.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

Sim, a equação diferencial é homogênea, e sua solução geral é:
Onde é uma constante arbitrária.

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