Determine a solução geral das equações diferenciais lineares d y/d x + y * cos(x) = 1/2 * sen(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial linear:
Isso entra no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e um pouco de cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma Equação Diferencial Linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, P(x) é cos(x) e Q(x) é . O próximo passo é encontrar o fator integrante que vai nos ajudar a resolver a equação.

Passo 3

O fator integrante ( mu(x)) é dado por:
Então, substituindo P(x) por cos(x), temos:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Para isolar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
Isso simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

A integral do lado direito pode ser resolvida por partes ou substituição. Após resolver, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as y' = (x^2 + 2y^2) / (xy)
Resolva as equações diferenciais dadas dx + 1/y^4 dy = 0
Determine os valores de C1 e C2 de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas. y(x) = C1 x + C2 + x^2 - 1 ; y(1) = 1', y'(1) = 2.
Escreva a equação diferencial na forma normal e^x * y' - x = y'