Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da equação diferencial linear:
Isso entra no conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante e um pouco de cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é uma Equação Diferencial Linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, P(x) é
e Q(x) é . O próximo passo é encontrar o fator integrante que vai nos ajudar a resolver a equação.
Passo 3
O fator integrante (
) é dado por:
Então, substituindo P(x) por
, temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Para isolar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
Isso simplifica para:
Onde C é a constante de integração.
Passo 6
A integral do lado direito pode ser resolvida por partes ou substituição. Após resolver, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as
Resolva as equações diferenciais dadas
Determine os valores de
e
de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciais dadas.
.
Escreva a equação diferencial na forma normal