Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as y' = (y - x) / x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender o que torna uma equação homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial da forma é considerada homogênea se o lado direito da equação for uma função homogênea de grau zero. Isso quer dizer que, ao multiplicar e por um mesmo fator , a função não muda.

Passo 3

Vamos verificar se é homogênea de grau zero. Multiplicando e por :
Como o cancela e a função permanece , isso confirma que a equação é homogênea.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Assim, e a derivada fica:

Passo 5

Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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