Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é homogênea e, se for, resolver ela. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e entender o que torna uma equação homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação diferencial da forma
é considerada homogênea se o lado direito da equação for uma função homogênea de grau zero. Isso quer dizer que, ao multiplicar
e
por um mesmo fator
, a função não muda.
Passo 3
Vamos verificar se
é homogênea de grau zero. Multiplicando
e
por
:
Como o
cancela e a função permanece
, isso confirma que a equação é homogênea.
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição
. Assim,
e a derivada
fica:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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