Determine a solução geral das equações diferenciais de variáveis separáveis 2*x*(3*x+1)*dydx + 1 - 2*x = 0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é de variáveis separáveis: . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Pra resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos arrumar a equação pra isolar . Subtraímos 1 e adicionamos nos dois lados:
Agora, dividimos os dois lados por para deixar isolado:

Passo 3

Como a equação está em forma de variável separável, podemos separar de um lado e do outro. Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração do lado direito para facilitar a integração. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Mas para simplificar ainda mais, podemos usar frações parciais. Vamos considerar:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Substituindo na primeira equação:
Então, a fração parcial fica:

Passo 5

Agora, podemos integrar ambos os lados:
Integrando termo a termo:
Onde é a constante de integração.
Calculando as integrais:
Então, a solução fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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