Determine a solução geral das equações diferenciais de variáveis separáveis
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é de variáveis separáveis:
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação. Pra resolver isso, vamos precisar dos conceitos de equações diferenciais e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos arrumar a equação pra isolar
. Subtraímos 1 e adicionamos
nos dois lados:
Agora, dividimos os dois lados por
para deixar
isolado:
Passo 3
Como a equação está em forma de variável separável, podemos separar
de um lado e
do outro. Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração do lado direito para facilitar a integração. Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Mas para simplificar ainda mais, podemos usar frações parciais. Vamos considerar:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Igualando os coeficientes:
Substituindo
na primeira equação:
Então, a fração parcial fica:
Passo 5
Agora, podemos integrar ambos os lados:
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Calculando as integrais:
Então, a solução fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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e
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.
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