Determine a solução geral das equações diferenciais exatas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata:
. A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente as exatas. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a solução. Vamos levar o segundo termo para o outro lado:
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Isso deixa a equação numa forma mais simples para resolver.
Passo 3
Agora, temos uma equação separável, o que significa que podemos deixar todas as
de um lado e todas as
do outro. Vamos reescrever:
Com isso, estamos prontos para integrar ambos os lados.
Passo 4
Vamos integrar cada lado:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Agora, queremos deixar
isolado. Para isso, tiramos o inverso dos dois lados:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.