Determine a solução geral das equações diferenciais exatas x^2/(x-y)^2 * dy/dx - y^2/(x-y)^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata: . A matéria aqui envolve equações diferenciais, especificamente as exatas. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a solução. Vamos levar o segundo termo para o outro lado:
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Isso deixa a equação numa forma mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, temos uma equação separável, o que significa que podemos deixar todas as de um lado e todas as do outro. Vamos reescrever:
Com isso, estamos prontos para integrar ambos os lados.

Passo 4

Vamos integrar cada lado:
A integral de em relação a é , e a integral de em relação a é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Agora, queremos deixar isolado. Para isso, tiramos o inverso dos dois lados:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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