Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante (x^4 + y^4) - x * y^3 * dy/dx = 0, x > 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial para . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de fator integrante para equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar um fator que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar ambos os lados facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é .
Dada a equação:
Podemos reescrever como:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Como , a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Assumimos que o fator integrante depende apenas de . A condição para que a equação seja exata após multiplicar por é:
Substituindo os valores:
Dividindo ambos os lados por :
Reorganizando:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Portanto,
Podemos escolher para simplificar, então o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de . Calculando a integral:

Passo 7

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a e igualamos a a :
Isso implica que , ou seja, é uma constante, que podemos chamar de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações diferenciais exatas x^2/(x-y)^2 * dy/dx - y^2/(x-y)^2 = 0
Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as y' = (y - x) / x
Resolva as seguinte equações de Bernoulli 2 y' = y / x - x / y^2, y(1) = 1.
Resolva a equação, sabendo que y1(x) = sen(x) é uma solução
d/y dx = cot(x) y^2 csc(x) - y + sen(x)