Resolva as equações abaixo encontrando um fator integrante
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
para
. O conteúdo que vamos usar aqui é o método de fator integrante para equações diferenciais exatas. Precisamos encontrar um fator que torne a equação exata, ou seja, que permita integrar ambos os lados facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação no formato padrão de equações diferenciais exatas, que é
.
Dada a equação:
Podemos reescrever como:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, comparamos as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata. Precisamos então encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Assumimos que o fator integrante
depende apenas de
. A condição para que a equação seja exata após multiplicar por
é:
Substituindo os valores:
Dividindo ambos os lados por
:
Reorganizando:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Portanto,
Podemos escolher
para simplificar, então o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
. Calculando a integral:
Passo 7
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
e igualamos a
a
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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.
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é uma solução