Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as y' = (2y + x) / x

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial e precisa descobrir se ela é homogênea. Se for, a gente também deve resolver essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de substituição para equações homogêneas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se todos os termos podem ser expressos em função da razão . Isso facilita a resolução porque permite fazer uma substituição que simplifica a equação.
Vamos analisar a equação dada:
Vamos simplificar o lado direito:
Observamos que a expressão está em termos de , então podemos dizer que a equação é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, vamos fazer a substituição:
Então,
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo na equação original:
Vamos reorganizar para isolar :

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida usando o método dos fatores integrantes. Primeiro, vamos reescrever a equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ):
Multiplicando toda a equação por :
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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