Determine se as equações diferenciais dadas são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação diferencial
e precisa descobrir se ela é homogênea. Se for, a gente também deve resolver essa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de primeira ordem e a técnica de substituição para equações homogêneas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se todos os termos podem ser expressos em função da razão
. Isso facilita a resolução porque permite fazer uma substituição que simplifica a equação.
Vamos analisar a equação dada:
Vamos simplificar o lado direito:
Observamos que a expressão está em termos de
, então podemos dizer que a equação é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, vamos fazer a substituição:
Então,
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo
na equação original:
Vamos reorganizar para isolar
:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear e pode ser resolvida usando o método dos fatores integrantes. Primeiro, vamos reescrever a equação:
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
):
Multiplicando toda a equação por
:
A equação agora fica:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
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