Determine a solução geral das equações diferenciais exatas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial exata:
Aqui a gente vai usar conceitos de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e encontrar uma função potencial que satisfaça as condições da exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais exatas, que é:
A equação dada é:
Vamos rearranjar para igualar a zero:
Agora, identificamos:
Passo 3
Para confirmar que a equação é exata, precisamos verificar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como as derivadas são iguais (
), a equação é realmente exata!
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Integrando
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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é solução do PVI
,
.