Determine a solução geral das equações diferenciais exatas y - 3 x^2 - (4 y - x) dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial exata:
Aqui a gente vai usar conceitos de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e encontrar uma função potencial que satisfaça as condições da exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão das equações diferenciais exatas, que é:
A equação dada é:
Vamos rearranjar para igualar a zero:
Agora, identificamos:

Passo 3

Para confirmar que a equação é exata, precisamos verificar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como as derivadas são iguais ( ), a equação é realmente exata!

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Para determinar , vamos derivar em relação a e igualar a :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Substituindo na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é dada por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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