Determine a solução geral das equações diferenciais lineares d y/d x - y = -2 e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem que é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar do método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante ( ) que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Isso facilita a integração.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:

Passo 7

Calculamos a integral no lado direito:
Então, temos:

Resposta

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

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