Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial linear de primeira ordem que é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar do método do fator integrante, que é uma técnica padrão para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante (
) que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Isso facilita a integração.
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
O que resulta em:
Passo 7
Calculamos a integral no lado direito:
Então, temos:
Resposta
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
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Verifique que
é solução do PVI
,
.
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