Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as. y' = (2x + y^2) / (xy)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea. Se for, a gente resolve ela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como identificar se uma equação é desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se todas as suas partes (termos) têm o mesmo grau quando consideramos e . O grau de um termo é a soma dos expoentes de e .
Vamos analisar a nossa equação:
Vamos dividir isso em duas partes: o numerador e o denominador .
  1. Numerador :
    • O termo tem grau 1 (porque é elevado a 1).
    • O termo tem grau 2.
    Os termos têm graus diferentes, o que já indica que o numerador não é homogêneo.
  2. Denominador :
    • Aqui, e estão multiplicados, então o grau total é 1 + 1 = 2.
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Os dois termos resultantes têm graus diferentes (-1 e 0), o que confirma que a equação não é homogênea.

Resposta

A equação diferencial não é homogênea.

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