Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é homogênea. Se for, a gente resolve ela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial homogênea e como identificar se uma equação é desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea. Uma equação é dita homogênea se todas as suas partes (termos) têm o mesmo grau quando consideramos
e
. O grau de um termo é a soma dos expoentes de
e
.
Vamos analisar a nossa equação:
Vamos dividir isso em duas partes: o numerador
e o denominador
.
-
Numerador
: - O termo
tem grau 1 (porque é elevado a 1). - O termo
tem grau 2.
Os termos têm graus diferentes, o que já indica que o numerador não é homogêneo. - O termo
-
Denominador
: - Aqui,
e estão multiplicados, então o grau total é 1 + 1 = 2.
- Aqui,
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador:
Os dois termos resultantes têm graus diferentes (-1 e 0), o que confirma que a equação não é homogênea.
Resposta
A equação diferencial
não é homogênea.