Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Esse tipo de problema está no conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Então, a função
completa é:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
na função
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é: