Resolva as equações diferenciais abaixo. x e^(x^2) dx + (y^5 - 1) dy = 0 ; y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Esse tipo de problema está no conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Então, a função completa é:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Substituindo e na função :

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:

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