Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Esse tipo de problema está no conteúdo de Equações Diferenciais Exatas. Para resolver, vamos precisar identificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que a satisfaça.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
No nosso caso:
Calculando as derivadas:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, temos:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Integrando
em relação a
:
Então, a função
completa é:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Substituindo
e
na função
:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial é:
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“34.893ex” height=“3.065ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 15422.8 1354.9”><title>(x^2 + 1) dx + 1/y dy = 0; y(-1) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(458,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“14.759ex” height=“3.065ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 6523.6 1354.9”><title>x dx + 1/y dy = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 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<html><head></head><body><div>Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as: <span class="math-inline ">
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