Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial . A missão aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea e usar alguns truques de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever a expressão do jeito que , ou seja, ela depende apenas da razão . Isso facilita porque nos permite fazer uma substituição que simplifica a equação.

Passo 3

Vamos analisar a nossa equação: . Podemos reescrever o numerador como . Assim, a equação fica:
Agora, vemos que a equação depende apenas da razão , confirmando que é homogênea.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Daí, e a derivada . Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Isso é uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja , então , o que nos dá:
Assim,
Multiplicando por -1:

Passo 7

Vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Eliminando o logaritmo:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante real.

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Escreva sob forma diferencial separável as equações abaixo, e resolva-as:
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