Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
. A missão aqui é verificar se essa equação é homogênea e, se for, resolvê-la. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma equação diferencial ser homogênea e usar alguns truques de substituição para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação é homogênea se podemos escrever a expressão do jeito que
, ou seja, ela depende apenas da razão
. Isso facilita porque nos permite fazer uma substituição que simplifica a equação.
Passo 3
Vamos analisar a nossa equação:
. Podemos reescrever o numerador
como
. Assim, a equação fica:
Agora, vemos que a equação depende apenas da razão
, confirmando que é homogênea.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Daí,
e a derivada
. Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso é uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
, o que nos dá:
Assim,
Multiplicando por -1:
Passo 7
Vamos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Eliminando o logaritmo:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
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