Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos analisar esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a equação diferencial dada é homogênea. Se for, a gente resolve usando os métodos de equações homogêneas. Então, vamos precisar entender o que é uma equação homogênea e como identificar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se ela pode ser escrita na forma . Isso significa que a função que define a derivada depende apenas da razão entre e .

Passo 3

Vamos analisar a equação que temos:
A gente precisa verificar se essa expressão pode ser escrita apenas em termos de .

Passo 4

Vamos simplificar o denominador:
Notamos que os dois termos no denominador têm graus diferentes:
  • tem grau
  • tem grau

Passo 5

Como os termos no denominador têm graus diferentes, a função não é homogênea. Para ser homogênea, todos os termos da função de deveriam ter o mesmo grau quando multiplicados por e .

Resposta

A equação diferencial fornecida não é homogênea.

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Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem