Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial
é homogênea e, se for, resolver. Isso envolve conceitos de equações diferenciais homogêneas, onde as funções do numerador e denominador têm o mesmo grau. Vamos precisar entender o que é homogeneidade em equações diferenciais e usar uma substituição para resolver se for o caso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender se a equação é homogênea. Uma equação diferencial da forma
é homogênea se
para qualquer
. Isso significa que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas do mesmo grau.
Vamos verificar isso na nossa equação:
Vamos multiplicar
e
por
:
Podemos fatorar
no numerador e no denominador:
Como
, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição
. Isso simplifica a equação porque expressa
em termos de
.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reescrever:
Agora, separando as variáveis:
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado direito:
Agora, o lado esquerdo:
A expressão
parece complicada, mas podemos notar que o denominador pode ser fatorado:
Portanto:
Vamos usar a substituição
, então
. Reescrevendo a integral:
Passo 7
Agora, igualamos as integrais:
Vamos isolar
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante
como
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Vamos simplificar:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial homogênea é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem
Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.