Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diferencial é homogênea e, se for, resolver. Isso envolve conceitos de equações diferenciais homogêneas, onde as funções do numerador e denominador têm o mesmo grau. Vamos precisar entender o que é homogeneidade em equações diferenciais e usar uma substituição para resolver se for o caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender se a equação é homogênea. Uma equação diferencial da forma é homogênea se para qualquer . Isso significa que tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas do mesmo grau.
Vamos verificar isso na nossa equação:
Vamos multiplicar e por :
Podemos fatorar no numerador e no denominador:
Como , a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Isso simplifica a equação porque expressa em termos de .
Primeiro, vamos derivar em relação a :
Derivando ambos os lados em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Simplificando o lado direito:
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Essa equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos reescrever:
Agora, separando as variáveis:

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado direito:
Agora, o lado esquerdo:
A expressão parece complicada, mas podemos notar que o denominador pode ser fatorado:
Portanto:
Vamos usar a substituição , então . Reescrevendo a integral:

Passo 7

Agora, igualamos as integrais:
Vamos isolar :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear a constante como :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Vamos simplificar:
Multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial homogênea é , onde é a constante de integração.

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