Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação diferencial . Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar conhecer o que é uma equação diferencial exata e saber como testar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Geralmente, escrevemos equações diferenciais na forma . No nosso caso:

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a . Se elas forem iguais, então a equação é exata. Vamos calcular:

Passo 4

Vendo os resultados das derivadas parciais:
Como elas são iguais, isso confirma que a equação diferencial é exata.

Passo 5

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver ela encontrando uma função tal que:
Para achar , começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de , já que a derivada parcial em relação a “desaparece”.

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
  • corresponde a , então tudo certo.
  • , então vamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta na função :
Como a equação diferencial é igual a zero, temos:
Então, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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