Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que o forem
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. A gente recebeu a equação diferencial
. Nosso objetivo é verificar se essa equação é exata e, se for, resolver ela. Para isso, vamos precisar conhecer o que é uma equação diferencial exata e saber como testar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa equação. Geralmente, escrevemos equações diferenciais na forma
. No nosso caso:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, precisamos comparar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
. Se elas forem iguais, então a equação é exata. Vamos calcular:
Passo 4
Vendo os resultados das derivadas parciais:
Como elas são iguais, isso confirma que a equação diferencial é exata.
Passo 5
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos resolver ela encontrando uma função
tal que:
Para achar
, começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
, já que a derivada parcial em relação a
“desaparece”.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
-
corresponde a , então tudo certo. -
, então vamos integrar para encontrar :
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta na função
:
Como a equação diferencial é igual a zero, temos:
Então, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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