Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão
. Aqui, temos:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo fica:
Para o lado direito, usamos a técnica de integração por partes ou fórmulas de integrais de funções exponenciais multiplicadas por senos:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.