Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos utilizar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação na forma padrão . Aqui, temos:

Passo 3

Calculamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo fica:
Para o lado direito, usamos a técnica de integração por partes ou fórmulas de integrais de funções exponenciais multiplicadas por senos:

Passo 6

Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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