Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde queremos encontrar a função
que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado substituição de Bernoulli, que é útil para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação está na forma de Bernoulli:
, onde
é um expoente. No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma linear. Vamos definir
. Assim,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Ou seja:
Passo 5
Vamos substituir
da equação original na expressão para
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou
.
Seja
A integral fica:
Passo 9
Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determine se as equações diferenciais são homogêneas e, em caso afirmativo, resolva-as.
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