Resolva as seguintes equações diferenciais abaixo e os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Isso faz parte do estudo de equações diferenciais, onde queremos encontrar a função que satisfaz essa relação. Para resolver, vamos precisar usar um método chamado substituição de Bernoulli, que é útil para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação está na forma de Bernoulli: , onde é um expoente. No nosso caso, , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição para transformar a equação em uma linear. Vamos definir . Assim, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Ou seja:

Passo 5

Vamos substituir da equação original na expressão para :
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, fazemos uma substituição:
Seja , então , ou .
A integral fica:

Passo 9

Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Lembrando que , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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